বাস্তব সমস্যার ভিত্তিতে সমীকরণ গঠন ও সমাধান (৫.৪)

তোমার কাছে কিছু চকলেট আছে। তা থেকে তোমার বোন রিতাকে 3টি চকলেট দিলে, তোমার কাছে আর 7টি চকলেট থাকল। বলতে পারো, প্রথমে তোমার কাছে কয়টি চকলেট ছিল?

তোমার কাছে মোট কয়টি চকলেট ছিল তা অজানা। ধরি, তোমার কাছে x টি চকলেট ছিল। তাহলে, তোমার বোন রিতাকে 3টি চকলেট দিলে তোমার মোট চকলেট থেকে 3টি চকলেট কমে যাবে। কাজেই, তোমার কাছে এখন থাকবে (x - 3) টি চকলেট। কিন্তু প্রশ্নমতে, তোমার কাছে থাকবে 7টি চকলেট।

অতএব, আমরা লিখতে পারি,

x - 3 = 7

বা, x - 3 + 3 = 7 + 3 [উভয়পক্ষে 3 যোগ করে]

বা, x = 10

∴ তোমার কাছে মোট 10টি চকলেট ছিল।

এখানে গঠিত সমীকরণ x - 3 = 7

এবং সমীকরণটির সমাধান x = 10

উদাহরণ ৬। কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে 5 যোগ করলে যোগফল 17 হবে?

সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি x
সংখ্যাটির দ্বিগুণ করলে 2.x হবে এবং এর সাথে 5 যোগ করলে হবে 2x + 5

প্রশ্নমতে, 2x + 5 = 17

বা, 2x + 5 - 5 = 17 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]

বা, 2x = 12

বা, $\frac{2x}{2}=\frac{12}{2}$[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x = 6

∴ সংখ্যাটি 6

উদাহরণ ৭। দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল 16 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধান: ধরি, ১ম বিজোড় সংখ্যা x

∴ ২য় বিজোড় সংখ্যাটি হবে x + 2

প্রশ্ন অনুসারে, x + x + 2 = 16

বা, 2x + 2 = 16

বা, 2x + 2 - 2 = 16 - 2 [উভয়পক্ষ থেকে 2 বিয়োগ করে]

বা, 2x = 14

বা, $\frac{2x}{2}=\frac{14}{2}$[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x = 7

∴ ১ম সংখ্যাটি 7 এবং ২য় সংখ্যাটি x + 2 = 7 + 2 = 9

∴ সংখ্যা দুইটি 7, 9

উদাহরণ ৮। 2 : 3 অনুপাতের পূর্বরাশির সাথে কত যোগ করলে অনুপাতটি 5 : 1 হবে?

সমাধান: ধরি, অনুপাতটির পূর্ব রাশির সাথে x যোগ করতে হবে। তখন অনুপাতটি হবে (2 + x) : 3

প্রশ্নমতে, $\frac{2+x}{3}=\frac{5}{1}$

বা, $\frac{2+x}{3}\times 3=\frac{5}{1}\times 3$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]

বা, 2 + x = 15

বা, 2 + x - 2 = 15 - 2 [উভয়পক্ষ থেকে 2 বিয়োগ করে]

বা, x = 13

∴ পূর্ব রাশির সাথে 13 যোগ করতে হবে।

উদাহরণ ৯। মীনার কাছে 12টি মার্বেল ছিল। তা থেকে সে তার বন্ধু কনক চাকমাকে কিছু মার্বেল দেওয়ার পর তার কাছে 7টি মার্বেল থাকল। সে কনককে কয়টি মার্কেল দিল?

সমাধান: ধরি, মীনা তার বন্ধু কনককে টি মার্কেল দিল। কাজেই, তার কাছে আর মার্বেল থাকে (12 - x) টি। কিন্তু মীনার কাছে মার্বেল থাকে 7টি।

∴ 12 - x = 7

বা, 12 - x - 12 = 7 - 12 [উভয়পক্ষ থেকে 12 বিয়োগ করে]

বা, - x = - 5

বা, (- 1) $\times$(- x) = (- 1) $\times$(- 5) [উভয়পক্ষকে (-1) দ্বারা গুণ করে]

বা, x = 5

∴ মীনা কনক চাকমাকে 5টি মার্বেল দিল।

উদাহরণ ১০। সিহাব একটি দোকান থেকে 6টি কলম কিনে দোকানদারকে 50 টাকার একটি নোট দিল। দোকানদার তাকে 20 টাকা ফেরত দিলেন। সিহাব অন্য একটি দোকান থেকে প্রতিটি y টাকা দামের 3 টি খাতা কিনল। তাহলে-

ক. প্রতিটি কলমের দাম x টাকা ধরে একটি সমীকরণ গঠন কর।
খ. প্রতিটি কলমের দাম নির্ণয় কর।
গ. 3 টি খাতার দাম 6টি কলমের দামের সমান হলে, প্রতিটি খাতার দাম কত?

সমাধান: ক. প্রতিটি কলমের দাম x টাকা হলে, 6টি কলমের দাম 6x টাকা। আবার, 6টি কলমের
মোট দাম = (50-20) টাকা = 30 টাকা।

∴ 6 $\times$ x = 30

বা, 6x = 30

খ. 6x = 30

বা, $\frac{6x}{6}=\frac{30}{6}$[উভয়পক্ষকে 6 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x = 5

∴ প্রতিটি কলমের দাম 5 টাকা।

গ. 3 টি খাতার দাম = 3 $\times$ y টাকা = 3y টাকা। আবার, 6টি কলমের দাম= 6$\times$5 টাকা = 30 টাকা।

প্রশ্নমতে, 3y = 30

বা, $\frac{3y}{3}=\frac{30}{3}$[উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

বা, y = 10

∴ প্রতিটি খাতার দাম 10 টাকা।

উদাহরণ ১১।

কোন সংখ্যার চারগুন থেকে 5 বিয়োগ করলে প্রাপ্ত বিয়োগফল সংখ্যাটির দ্বিগুণ অপেক্ষা 19 বেশি হয়
(ক) সংখ্যাটি x হলে তথ্যের আলোকে সমীকরণ গঠন কর।
(খ) সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
(গ) সংখ্যাটি তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান:

(ক) মনেকরি, সংখ্যাটি x
সংখ্যাটির চারগুণ থেকে 5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল= 4x-5

এবং সংখ্যাটির দ্বিগুণের সাথে 19 যোগ করলে যোগফল = 2x + 19

প্রশ্নমতে, 4x - 5 = 2x + 19

(খ) 'ক' হতে পাই, 4x - 5 = 2x + 19

বা, 4x - 5 + 5 = 2x + 19 + 5 [উভয় পক্ষে 5 যোগ করে]

বা, 4x = 2x + 24

বা, 4x - 2x = 2x + 24 - 2x [উভয় পক্ষ হতে 2x বিয়োগ করে]

বা, 2x = 24

বা, $\frac{2x}{2}=\frac{24}{2}$[উভয় পক্ষেকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x = 12

অতএব, সংখ্যাটি 12

(গ) 'খ' হতে প্রাপ্ত সংখ্যাটি 12

মনে করি, ১ম ক্রমিক সংখ্যাটি y

২য় ক্রমিক সংখ্যাটি y+1

৩য় ক্রমিক সংখ্যাটি y + 2

শর্তমতে, y + (y + 1) + (y + 2) = 12

বা, y + y + 1 + y + 2 = 12

বা, 3y + 3 = 12

বা, 3y + 3 - 3 = 12 - 3 [উভয় পক্ষ হতে 3 বিয়োগ করে]

বা, $\frac{3y}{3}=\frac{9}{3}$[উভয় পক্ষকে ও দ্বারা ভাগ করে]

বা, y = 3

অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি 3